時間領域FEMによるH面導波管誘電体共振器の散乱係数の計算（４）　－磁界ベクトルとSplit-type PMLを用いた場合－

TMzモードの場合の界成分分離型(Split-Type)のPMLでは、x方向PMLのみとすると、

　ε dEz1 / dt + σx Ez1 = dHy / dx

　ε dEz2 / dt = - dHx / dy

　μ dHx / dt = - dEz / dy

　μ dHy / dt + σxμε-1 Hy = dEz / dx

　ここで、

　　Ez = Ez1 + Ez2

です。

Hx, Hyを消去して、Ezのみの式を求めると

　μ-1 ( L2yy ★ d2Ez / dx2 + L2xx ★ d2Ez / dy2 ) = ε ( d2Ez / dt2 + σx/ε dEz/dt )

　L2 = [ L2xx 0 ]

　 [ 0 L2yy ]

　L2xx = δ(t) + σx/ε u(t)

　L2yy = δ(t) - σx/ε exp(-σx t /ε) u(t)

　δ(t)：デルタ関数

　u(t)：ステップ関数

となります。ここで、★は畳み込み積分です。

　[f★g] = ∫τ=[0, t] f(τ) g(t - τ) dτ

この支配方程式にガラーキン法を適用すると

　　　　+ <Ni, ε d2 Ez / dt2> + (σx / ε) <Ni, dEz / dt> = 0

Ezを離散化すると、

　[K] Ez - [Kx] ψx - [Ky] ψy + [M] d2 Ez / dt2 + (σx / ε) [M] dEz / dt = 0

　ψx = σx / ε exp ★ Ez

　ψy = - σx / ε ★ Ez

ところで、ψyは単純なEzに関する時間積分と等価なので、

　ψy = - v

　ただし、dv / dt = (σx / ε) Ez

したがって、

　[K] Ez - [Kx] ψx + [Ky] v + [M]d2 Ez / dt2 + (σx / ε) [M] dEz / dt = 0

となり、Uniaxial PMLのFEM方程式と一致します。

Ezを用いたUniaxial PMLの時間領域FEMについては下記で試しました。

　時間領域FEMによるH面導波管誘電体共振器の散乱係数の計算（２）　－完全整合層(PML)の場合－

　http://ryujimiya.hatenablog.com/entry/2013/05/19/214317

一方、Ezを消去して、Hx, Hyの式にすると支配方程式は、H = [Hx, Hy]Tとして、

　μ d2 H / dt2 + μ L1 dH / dt + ∇x ε-1∇ x L2 ★ H = 0

　L1 = [ 0 0 ]

　 [ 0 σx ε-1 ]

　L2 = [ L2xx 0 ]

　 [ 0 L2yy ]

　L2xx = δ(t)

　L2yy = δ(t) - σx/ε exp(-σx t /ε) u(t)

　注意：L2はEzの場合と定義が異なります。

ガラーキン法を適用すると、

　<∇xNi, ε-1∇x( L2 ★ H )> + <Ni, μ d2 H / dt2> + <Ni, μ L1 d H / dt> = 0

Hを離散化すると

　[M] d2 u / dt2 + [Mσ] du / dt + [K] u - [Kx] ψx = 0

　[M]ij = ε0μ0 <Ni, μr Nj>

　[Mσ]ij = ε0μ0 ( σx / ε ) <Ni, μr y y・Nj>

　[K]ij = <∇xNi, εr-1∇xNj>

　[Kx]ij = <∇xNi, εr-1∇x ( y y ・Nj )>

　ここで、yはy方向単位ベクトル

となります。

この式は、下記文献(1) の(7)式に対応しますが、前回磁界ベクトルを用いた解析で引用した文献(2)の(29)式(Uniaxial PMLの場合の式)とは一致していないように思われます。

(1) Dan Jiao and Jian-Ming Jin

"An Effective Algorithm for Implementing Perfectly Matched Layers in Time-Domain Finite-Element Simulation of Open-Region EM Problems"

https://engineering.purdue.edu/~djiao/publications/DanJiao_2dpml.pdf

IEEE Transactions on Antennas and Propagation,

vol. 50, no. 11, November 2002

(2) Dan Jiao, Jian-Ming Jin, Eric Michielssen, and Douglas J. Riley

"Time-domain finite-element simulation of three-dimensional scattering and radiation problems using perfectly matched layers."

https://engineering.purdue.edu/~djiao/publications/DanJiao_pml3d.pdf

IEEE Transactions on Antennas and Propagation

vol. 51, no. 2, February 2003