WE-FDTD(波動方程式FDTD)によるH面誘電体装荷共振器の散乱係数の計算

FDTDというとマクスウェルの方程式にそのまま時間、空間について中央差分を適用して離散化しますが、マクスウェルの方程式から磁界または電界を消去することで得られる波動方程式に差分法を適用する方法もあるようです。波動方程式に基づくFDTDということで、WE-FDTD (Wave Equation Finite Difference Time Domain)と言うようです。

２次元の問題だとEzまたはHzのみの波動方程式を扱うことになるので

　・電界、磁界の”双対な”格子を構成しなくても１つの格子で計算できる？

　・未知数は２次元の場合、１変数で済むので1/3のメモリ節約になる？

という希望を持ちました。しかしながら、実際定式化を確認するとそう単純ではないようです。

先ずは、ベーシックなWE-FDTDを実装してみました。吸収境界条件はMurの吸収境界条件を使用します。

WE-FDTD (TMz)

　Ez(i, j)n+1 = c1(i, j) Ez(i, j)n + c2(i, j)Ez(i, j)n-1

　　　　+ c3(i, j) { Jz(i, j)n+1 - Jz(i, j)n-1 }

　　　　+ c4(i, j) { Ez(i + 1, j)n + Ez(i - 1, j)n + Ez(i, j + 1)n + Ez(i, j -1)n }

　c1(i, j) = 4ε / (2ε + σ⊿t) - c4(i, j)

　c2(i, j) = - (2ε - σ⊿t) / (2ε + σ⊿t)

　c3(i, j) = - ⊿t / (2ε + σ⊿t)

　c4(i, j) = 2 (⊿t)^2 / { μ (2ε + σ⊿t) (⊿l)^2 }

誘電体損失のない場合σ = 0より

　c1 = 2 - c4

　c2 = - 1

　c3 = - ⊿t / (2ε)

　c4 = (⊿t)^2 / { μ ε(⊿l)^2 }

となります。

１つ前及び２つ前の時間の電界が必要となるので、必要な計算機容量は３成分(Ez, Hx, Hy)の標準FDTDとあまり変わらない感じです。ただ、格子は電界の格子だけを考えればよいので少し楽になります。（補足：電界の格子だけで済むのは、Murの吸収境界条件を適用する場合です。PMLを用いた場合は、補助変数の割り当てに双対な格子を導入する必要があります。)

参考文献：

K. Ichige and H. Arai

"An Efficient Algorithm of 2-D FDTD Method Based on Finite-Difference Approximation of Wave Equation"

http://ap-s.ei.tuat.ac.jp/isapx/2000/pdf/1F4-3.pdf

Proceedings of ISAP2000(2000 International Symposium of Antennas and Propagation), Fukuoka, Japan, Aug. 2000.

園田　潤

"高次 FDTD 法とクラスタを用いた並列計算による大規模電波伝搬解析に関する研究"

http://magnet.cneas.tohoku.ac.jp/satolab/theses/sonoda_PhD_thesis.pdf

東北大学大学院環境科学研究科博士学位論文

2005年9月

2.2.2.1 WE-FDTD 法