Euler-Bernoulli梁とTimoshenko梁のビーム要素、フレーム要素の定式化と計算結果比較

1. はじめに

前記事で1次元構造要素のトラス、ビーム、フレーム要素によるFEM変位計算を行いましたが、そこで用いたビーム、フレームはEuler-Bernoulli梁をもとにしていました。

本記事ではTimoshenko梁のビーム、フレーム要素を用いて計算しています。

2.Euler-Bernoulli梁とTimoshenko梁

Euler-Bernoulli梁では、

（１）断面は変形しない

 （２）変形前の中立軸に垂直な断面は、変形後の中心軸に垂直な平面を保つ

Timoshenko梁では、上の仮定でなく、

（１）断面は変形しない

（２）変形前の中立軸に垂直な断面は、変形後も平面を保つ

Euler-Bernoulli梁

Timoshenko梁

FEMによる定式化をpdfにまとめました。

トラス、ビーム、フレーム要素（Euler-Bernoulli)

Truss, Beam and Frame Elements

http://starlightparade.usamimi.info/ivyfem/doc/TrussBeamFrame.pdf?p=0

 Timoshenko梁

Timoshenko Beam and Frame Elements

http://starlightparade.usamimi.info/ivyfem/doc/TimoshenkoBeamFrame.pdf?p=0

3. 梁の曲げ

棒の断面(y-z面)は、

b=0.2 m

h = (1/4)b

材料定数は、

E=169 GPa

ν=0.262

ρ=2300 kg/m^3

bの方向軸(y軸)の断面2次モーメントは、

Iz=(1/12) b h^3

棒の軸方向(x軸)の断面2次（極）モーメントは、

Ix =(1/12) b h^3 + (1/12) b^3 h

とします。

片持ち梁の荷重(断面力）は、

Fy = -0.5 x 10^6 [N m^2]

とします。

3.1. Euler-Bernoulliビーム要素

フレーム要素と同等の結果でした。

3.2. Euler-Bernoulliフレーム要素

Fy = -0.5 x 10^6 [N m^2]

3.3. Timoshenkoビーム要素

Fy = -0.5 x 10^6 [N m^2]

3.4. Timoshenkoフレーム要素

Fy = -0.5 x 10^6 [N m^2]

4.トラス付きの梁

トラスの一辺L=1m、したがって梁の長さは2Lになります。一辺Lにつきフレーム要素で10分割しています。

棒の断面は、

b=0.2 m

h = (1/4)b

材料定数は、

E=169 GPa

ν=0.262

ρ=2300 kg/m^3

bの方向軸の断面の2次モーメントは、

I=(1/12) b h^3

とします。

4.1. Euler-Bernoulli梁のフレーム要素

4.2. Timoshenko梁フレーム要素

5.まとめ

梁理論としてEuler-Bernoulli梁とTimoshenko梁を用いてFEM定式化しました。片持ち梁、トラス付き梁について計算しました。