Vorticity Equationsによる流体のFEM計算ー標準ガラーキン法(Newmark βとRK4)とSUPG(streamline upwind Petrov-Galerkin)

1. はじめに

Navier-Stokes方程式は速度ベクトルvと静水圧pを解く方程式でしたが、対流を表すvorticityベクトル ωと流線を表すstream functionベクトル ψを用いた定式化もできます。

2次元問題の場合、vorticity、stream functionは１方向しか成分を持たないので、２成分解析が可能です。

本記事では、Vorticity Equationsの導出と弱形式の導出、直接解法とRK4解法、さらにkinematic viscosity νが小さい場合の計算のためにSUPG(streamline upwind Petrov-Galerkin)を用いた定式化について記します。

Vorticity Equationsを用いた定式化では、境界条件がわからず、いろいろ試しました。なんとかうまくいった方法を示しています。

2. Vorticity Equationsの定式化ー標準ガラーキン法(直接法とRK4)とSUPG

pdfにまとめました。

Vorticity Equations of Navier-Stokes Equations - Standard Galerkin and SUPG Formulations -

http://starlightparade.usamimi.info/ivyfem/doc/VorticityStdGSUPG.pdf?p=0

3. Vorticity Equations：標準ガラーキン法(Newmark β)

3.1. lid driven cavity(時間領域)

一辺の長さ1[m]

密度ρ = 1.2[kg/m^3]
粘性率μ = 0.02

ベクトルは速度ベクトルを表し、サーモグラフィーはvorticityを表しています。

3.2. Back-step（時間領域）

入力(左側）の幅0.3[m]、出力（右側）の幅1.0[m]

密度ρ = 1.2[kg/m^3]
粘性率μ = 0.02

4.Vorticity Equations：標準ガラーキン法 + RK4(4次Runge-Kutta)

RK4では

時間刻み幅⊿tが大きいと発散するのでかなり細かく刻んでいます。

4.1. lid driven cavity(時間領域)

一辺の長さ1[m]

密度ρ = 1.2[kg/m^3]
粘性率μ = 0.02

 

5. SUPG(Newmark β)

粘性率を小さくした場合の計算結果です。

5.1. lid driven cavity（時間領域）

一辺の長さ1[m]

密度ρ = 1.2[kg/m^3]
粘性率μ = 0.0002

5.2. Back-step(時間領域)

入力(左側）の幅0.3[m]、出力（右側）の幅1.0[m]

密度ρ = 1.2[kg/m^3]
粘性率μ = 0.0002

6. まとめ

VorticityとStream functionを用いた流体の支配方程式を導き、弱形式を求めた。

詳細はpdfに記したが境界条件で苦労した。

標準ガラーキン法の場合は、Newmark β法とRK4で計算した。

SUPGの場合はNewmark β法で計算した。