フォトニック結晶導波路の伝達問題の計算

前回、周期構造を持つ導波路の固有モードをDelFEMで計算しました。

　2次元導波路伝搬定数の周期構造解析用FEMによる計算

　　http://ryujimiya.hatenablog.com/entry/2012/11/26/003737

　2次元導波路伝搬定数の周期構造解析用FEMによる計算(2)　ー非線形固有値方程式の解法についてー

　　http://ryujimiya.hatenablog.com/entry/2012/11/28/015112

　フォトニック結晶導波路の固有モードの周期構造解析用FEMによる計算

　　http://ryujimiya.hatenablog.com/entry/2012/11/29/041704

　フォトニック結晶導波路の固有モードの周期構造解析用FEMによる計算(2)

　　http://ryujimiya.hatenablog.com/entry/2012/11/30/004535

固有モードが計算できるということは、その周期構造導波路の伝達問題もFEMで解けるということなので試してみました。

参考にしたのは、以前紹介した次の文献です。

(1) 財団法人電気学会, “計算電磁気学”, 培風館, pp.93-pp.95,2003-07-21

3.2.5. フォトニック結晶導波路解析への応用(小柴正則)

(2) Yasuhide Tsuji and Masanori Koshiba,

“Finite element method using port truncation by perfectly matched layer boundary conditions for optical waveguide discontinuity problems,”

Journal of Lightwave Technology, vol. 20, pp. 463 - 468, March 2002

これらの文献では、完全整合層(PML:Perfectly Matched Layer)を使用したフォトニック導波路の固有モード解析法及び伝達問題の解析法が示されています。

しかし、PMLを使用した場合解析領域を余分に取る必要があるため非力なPCではメモリ不足で充分な計算ができないことがあります（私のPCの場合そうでした)。

ここでは、Ｈ面導波管の伝達問題と同じ方法、つまり入出力ポートの境界条件に固有モード展開を使用して定式化してみました。

周期構造導波路伝達問題の固有モード展開による定式化

固有モード展開を用いた場合、境界積分項の境界に垂直な方向の界の偏微分を評価する必要があります。一様導波路の場合は、x方向を入出力導波路の伝搬方向、y方向を境界の方向とすると、Φ(x, y) = φ(y) exp(-jβx)なので

　　dΦ/dx を　- jβφ exp(-jβx) = - jβΦ

に置き換えることができます。(βは伝搬定数、d/dxは伝搬方向偏微分)

周期構造の導波路の場合は、

　　Φ(x, y) = φ(x, y)exp(-jβx)

とおいて固有モードを計算したので

　　dΦ/dx を

　　　　- jβφexp(-jβx) + (dφ/dx) exp(-jβx)