Total Lagrange法による幾何学的非線形梁(Euler-Bernoulli field-consistent TL Beam、Timoshenko TL Beam)の計算

1. はじめに

幾何学的非線形梁をTotal Lagrange法を用いて計算します。

Euler-Bernoulli梁の場合は、変位と回転角に関係式が存在するため、変位２つ(uX、uY)と回転角(θ)は自由度について非線形な補間関数を構成する必要があります。これをfield-consistentな補間と呼んでいます。

Timoshenko梁の場合は、変位uX、uYとθは独立して補間、つまり従来のLagrange補間しても問題ないようです。

2. Total Lagrangian Beamの定式化

pdfにまとめました。

Euler-Bernoulli Field-Consistent Beam(Frame) Using Total
Lagrangian Formulation

http://starlightparade.usamimi.info/ivyfem/doc/FieldConsistentTLFrame.pdf?p=0

Timoshenko Beam(Frame) Using Total Lagrangian Formulation

http://starlightparade.usamimi.info/ivyfem/doc/TimoshenkoTLFrame.pdf?p=0

3. 片持ち梁の計算結果

梁

　長さL = 1m

　幅b = 0.2L

　高さh = 0.25b

梁の物性値

　密度ρ = 2.3e+3 kg
　Young率 E = 169.0e+9

　Poisson ν= 0.262

とします。

FはY方向荷重で、上方向を＋とします。

以下の結果のグラフでuはX方向(水平方向)変位、vはY方向(垂直方向)変位です。

mは断面換算の荷重で、断面積A(=bh)として、

m = F A = F (bh) [kg m^2]

としています。

3.1. Euler-Bernoulli field-consistent Beam

3.2. Timoshenko Beam

shear locking回避のため剛性行列の計算には低減積分を用います。

4. まとめ

幾何学的非線形な梁を扱うためにTotal Lagrange法を導入しました。

Euler-Bernoulli梁の場合は、field-consistentな補間関数を構成する必要性が分かりました。Timoshenko梁の場合は、従来の補間関数を用いることができることを確認しました。